Restklassenringe (Z)/p prim/Quadratische Form/Hat Lösung oder beschreibt Nichtquadrat in einer Variablen/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl ${}\geq 3$ und ${}\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Es sei ein Polynom ${}F\in \mathbb {Z} /(p)[X,Y]$ der Form

${}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$

gegeben. Zeige, dass für das zugehörige Nullstellengebilde ${}V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ die folgenden drei Alternativen bestehen.

1. ${}V(F)$ besitzt mindestens einen Punkt.
2. ${}F=c$ mit einer Konstanten ${}c\neq 0$.
3. Es gibt eine Variablentransformation derart, dass das Polynom in den neuen Koordinaten die Gestalt ${}Z^{2}-u$ mit einem Nichtquadrat ${}u\in \mathbb {Z} /(p)$ besitzt.

Eine Lösung erstellen