Riemannsche Zetafunktion/Divergenz der Produktdarstellung für s ist 1/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Das unendliche Produkt

$\prod _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{1-p^{-1}}}$

divergiert.

Beweis

Dies folgt aus Fakt für ${}s=1$. Man hat die Gleichheit

${}\prod _{p\in T_{k}}{\frac {1}{1-p^{-1}}}=\sum _{n\in M(T_{k})}{\frac {1}{n}}\,,$

wobei ${}T_{k}$ die ersten ${}k$ Primzahlen umfasse. Für ${}k\rightarrow \infty$ ergibt sich rechts die harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert. Also divergiert auch das Produkt links.

$\Box$