Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt mit Beweisklappe

Produktdarstellung für $\zeta$-Funktion

Es sei ${}T$ eine endliche Menge von Primzahlen und sei ${}s$ eine komplexe Zahl mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>0$. Es sei ${}M(T)$ die Menge aller natürlichen Zahlen, die sich als Produkt von Primzahlen aus ${}T$ darstellen lassen.

Dann ist

${}\prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{n\in M(T)}{\frac {1}{n^{s}}}\,.$

Beweis

Es sei ${}T=\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$. Es ist ${}\vert {p^{-s}}\vert <1$ nach Voraussetzung über den Realteil. Unter Verwendung von Fakt ergibt sich

${}{\begin{aligned}\prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}&={\frac {1}{1-p_{1}^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p_{k}^{-s}}}\\&=\left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{1}^{-s})^{i}\right)\cdots \left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{k}^{-s})^{i}\right)\\&=\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{-s})^{i_{1}}\cdots (p_{k}^{-s})^{i_{k}}\\&=\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}})^{-s}\\&=\sum _{n\in M(T)}n^{-s}.\end{aligned}}$

$\Box$