Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv und es seien ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, und ${}r_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die ${}r_{-i}$ liegen zwischen ${}0$ und ${}b-1$.
2. Die ${}z_{-i}$, ${}i\in \mathbb {N} _{+}$, liegen zwischen ${}0$ und ${}9$.
3. Wenn für ein ${}k$ der Rest ${}r_{-k}=0$ ist, so sind für alle ${}i>k$ auch ${}z_{-i}=0$. und ${}r_{-i}=0$.
4. Es gibt ein ${}k\in \mathbb {N}$ und ein ${}\ell \in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}\ell <b$ derart, dass für die Ziffern mit ${}i>k$ die Beziehung

   ${}z_{-i-\ell }=z_{-i}\,$

   gilt.

5. Wenn man statt ${}a:b$ den Divisionsalgorithmus ${}ma:mb$ mit ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ ausführt, so ändert sich die Ziffernfolge nicht (wohl aber die Restefolge). Die Ziffernfolge ist also für die rationale Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ wohldefiniert.
6. Bei der Division von ${}a=\sum _{j=0}^{t}c_{j}10^{j}$ durch eine Zehnerpotenz ${}b=10^{s}$ ist

   ${}z_{0}=\sum _{j=s}^{t-s}c_{j}10^{j-s}\,$

   (was bei ${}t<s$ als ${}0$ zu lesen ist) und

   ${}z_{-i}=c_{-i+s}\,$

   (was für ${}-i<-s$ als ${}z_{-i}=0$ zu lesen ist). Die Ziffernfolge ${}z_{-i}$ ist also einfach eine verschobene Version der Zifferndarstellung des Dividenden.

7. Der Bruch ${}{\frac {a}{b}}$ ist genau dann ein Dezimalbruch, wenn ein Rest ${}r_{-i}$ gleich ${}0$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Ziffernfolge ${}z_{-i}$ ab einem ${}k$ konstant gleich ${}0$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen