Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Ist eine Eigenschaft der Division mit Rest.
2. Wegen

   ${}r_{-i}\leq b-1\,$

   ist

   ${}10\cdot r_{-i}\leq 10\cdot (b-1)\,.$

   Bei der Division von ${}10\cdot r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}$ durch ${}b$ ist somit der ganzzahlige Anteil ${}z_{-i-1}$ echt kleiner als ${}10$.

3. Dies folgt unmittelbar aus dem rekursiven Aufbau des Divisionsalgorithmus.
4. Im Fall, dass für ein ${}k$ der Rest ${}r_{-k}=0$ ist, ergibt sich dies unmittelbar aus (3), wobei man ${}\ell =1$ wählen kann. Nehmen wir also an, dass alle ${}r_{-i}$ von ${}0$ verschieden sind. Da die Reste

   $r_{-1},r_{-2},r_{-3}$

   allesamt zwischen ${}1$ und ${}b-1$ liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass

   ${}r_{-k-\ell }=r_{-k}\,$

   gilt. Da ${}z_{-i-1}$ und ${}r_{-i-1}$ allein von ${}r_{-i}$ abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge

   $r_{-k},r_{k-1},\ldots ,r_{-k-\ell +1}\,\,{\text{ bzw. }}\,\,z_{-k},z_{k-1},\ldots ,z_{-k-\ell +1}$

   unendlich oft periodisch.

5. Aus der Division mit Rest

   ${}10\cdot r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}\,$

   ergibt sich direkt die entsprechende Division mit Rest

   ${}10\cdot {\left(m\cdot r_{-i}\right)}=z_{-i-1}\cdot {\left(m\cdot b\right)}+{\left(m\cdot r_{-i-1}\right)}\,,$

   woraus die Behauptung folgt.

6. Der Divisionsalgorithmus ist in diesem Fall

   ${}\sum _{j=0}^{t}c_{j}10^{j}={\left(\sum _{j=s}^{t}c_{j}10^{j-s}\right)}10^{s}+\sum _{j=0}^{s-1}c_{j}10^{j}\,,$

   ${}10\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-1}c_{j}10^{j}\right)}=c_{s-1}10^{s}+10\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-2}c_{j}10^{j}\right)}\,,$

   ${}10^{2}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-2}c_{j}10^{j}\right)}=c_{s-2}10^{s}+10^{2}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{s-3}c_{j}10^{j}\right)}\,,$

   u.s.w., woraus die Aussagen ablesbar sind.

7. Wenn ein Dezimalbruch vorliegt, so können wir wegen (5) annehmen, dass

   ${}b=10^{s}\,$

   eine Zehnerpotenz ist. Dann folgt die Aussage mit der abbrechenden Ziffernfolge aus (6).

   
   

   Wenn ein ${}r_{-k}=0$, so sind nach (3) alle folgenden Ziffern gleich ${}0$. Wenn umgekehrt ${}z_{-i}=0$ für alle ${}i\geq k$ gilt, so wird die Rekursionsbedingung für ${}i\geq k$ zu

   ${}10\cdot r_{-i}=r_{-i-1}\,.$

   Nehmen wir ${}z_{-k}\neq 0$ an. Dann ist

   ${}r_{-k-1}=10r_{-k}\,,$

   ${}r_{-k-3}=10r_{-k-1}=10^{2}r_{-k}\,,$

   u.s.w., was zu einem Widerspruch führt, da nach Fakt die Zehnerpotenzen schließlich die Zahl ${}b$ überschreiten.

   Wenn ein ${}r_{-k}=0$ ist, so folgt rekursiv aus

   ${}10r_{-i}=z_{-i-1}\cdot b+r_{-i-1}\,$

   bzw.

   ${}{\frac {r_{-i}}{b}}={\frac {z_{-i-1}}{10}}+{\frac {r_{-i-1}}{10\cdot b}}\,,$

   dass die Brüche

   ${\frac {r_{-k}}{b}}=0,\,{\frac {r_{-k+1}}{b}},\,{\frac {r_{-k+2}}{b}},\ldots ,{\frac {r_{-1}}{b}}\,,{\frac {r_{0}}{b}}$

   Dezimalbrüche sind. Somit ist auch ${}{\frac {a}{b}}$ ein Dezimalbruch.

Zur bewiesenen Aussage