Sigmaendliche Räume/Funktion/Integrationskriterium/Tonelli/Fakt

Integrierbarkeitskriterium von Tonelli

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$-endliche Maßräume und sei

$f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare Funktion.

Dann ist ${}f$ genau dann integrierbar, wenn

$\int _{M}{\left(\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x){\text{ oder }}\int _{N}{\left(\int _{M}\vert {f(x,y)}\vert \,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)$

endlich ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen