Sphäre/Antipodale Operation/Eigenschaften/Beispiel

Wir betrachten die ${}n$-dimensionale Sphäre

${}S={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \Vert {x}\Vert =1\right\}}\,$

und die antipodale Abbildung

$\alpha \colon S\longrightarrow S,\,x\longmapsto -x,$

die also jeden Punkt auf seinen gegenüberliegenden Punkt abbildet. Wegen

${}\alpha \circ \alpha =\operatorname {Id} _{S}\,$

gibt dies Anlass zu einer Operation von ${}G=\{1,-1\}\cong \mathbb {Z} /(2)$ auf der Sphäre ${}S$, bei der ${}1$ durch die Identität und ${}-1$ durch ${}\alpha$ operiert. Diese Operation ist treu und jede Bahn ist zweielementig von der Form ${}\{x,-x\}$. Insbesondere besitzt die Operation keinen Fixpunkt. Der Bahnenraum (versehen mit einer geeigneten Topologie) heißt ${}n$-dimensionaler reell-projektiver Raum.