Stammfunktion/Rationale Funktion in Exponentialfunktion/1 durch e^t+e^3t/Beispiel

Wir wollen eine Stammfunktion für die Funktion

${}f(t)={\frac {1}{e^{t}+e^{3t}}}\,$

finden. Das in Fakt beschriebene Verfahren führt auf die rationale Funktion

${}{\frac {1}{{\left(s+s^{3}\right)}s}}={\frac {1}{s^{2}{\left(s^{2}+1\right)}}}={\frac {1}{s^{2}}}-{\frac {1}{s^{2}+1}}\,,$

so dass die Partialbruchzerlegung direkt vorliegt. Die Stammfunktion von dieser rationalen Funktion ist

$-{\frac {1}{s}}-\arctan s.$

Die Stammfunktion von ${}f$ ist daher

$-{\frac {1}{e^{t}}}-\arctan e^{t}.$