Überlagerungen/Liftungssatz/Fakt/Beweis

Beweis

Eine Implikation folgt sofort aus der Funktorialität der Fundamentalgruppe. Es sei ${}{\tilde {f}}\colon (Y,y_{0})\to (E,e_{0})$ eine stetige Abbildung mit ${}p\circ {\tilde {f}}=f$. Dann ist

${}f_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}=(p\circ {\tilde {f}})_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}=p_{\ast }{\bigl (}{\tilde {f}}_{\ast }(\pi _{1}(Y,y_{0})){\bigr )}\subseteq p_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(E,e_{0}){\bigr )}\,.$

Um die Abbildung ${}{\tilde {f}}$ aus den gegebenen Daten zu konstruieren, benutzt man die sogenannte Fakt von Überlagerungen in einem Spezialfall. Denn sei ${}y\in Y$. Da ${}Y$ zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist, ist ${}Y$ nach Fakt weg-zusammenhängend. Es sei also ${}w\colon I\to Y$ ein Weg von ${}y_{0}$ nach ${}y$. Nach Fakt gibt es genau einen Weg ${}{\tilde {f\circ w}}\colon I\to E$ mit den Eigenschaften, dass ${}{\tilde {f\circ w}}(0)=e_{0}$ und ${}p\circ {\tilde {f\circ w}}=f\circ w$ gilt. Setze nun ${}{\tilde {f}}(y)\colon ={\tilde {f\circ w}}(1)$. Dies hängt gegebenenfalls von der Wahl des Weges ${}w$ ab. Um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist, seien nun ${}w_{1},w_{2}$ zwei Wege in ${}Y$ von ${}y_{0}$ nach ${}y$. Dann ist ${}w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}$ eine Schleife in ${}Y$ am Basispunkt ${}y_{0}$. Insbesondere ist

${}f_{\ast }{\bigl (}[w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}]{\bigr )}=[f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})]\in f_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}\subseteq p_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(E,e_{0}){\bigr )}\,$

nach Voraussetzung. Also existiert eine Schleife ${}[u]\in \pi _{1}(E,e_{0})$ mit der Eigenschaft, dass

${}p_{\ast }([u])=f_{\ast }([w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}])\,.$

Es sei ${}H\colon I\times I\to X$ eine Homotopie von ${}p\circ u$ zu ${}f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})$ relativ zu ${}\{0,1\}$. Wieder nach Fakt gibt es genau eine Homotopie ${}{\tilde {H}}\colon I\times I\to E$ mit der Eigenschaft, dass ${}{\tilde {H}}(s,0)=u(s)\,\forall \,s\in I$ und ${}p\circ {\tilde {H}}=H$. Aus ${}{\tilde {H}}(0,0)=u(0)=e_{0}=u(1)=H(1,0)$ und ${}H(0,t)=x_{0}=H(1,t)\,\forall \,t\in I$

folgt

${}{\tilde {H}}(0,t)=x_{0}={\tilde {H}}(1,t)\,\forall \,t\in I\,,$

denn ${}I$ ist zusammenhängend. Somit ist auch ${}{\tilde {H}}$ eine Homotopie relativ ${}\{0,1\}$. Insbesondere ist die Abbildung ${}s\mapsto {\tilde {H}}(s,1)$ eine Schleife an ${}e_{0}$. Sie ist aber nach Konstruktion ein (und aufgrund der durch den fixierten Anfangspunkt erzwungenen Eindeutigkeit der) Lift der Schleife ${}f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})$. Betrachte nun den Lift der Schleife

${}f\circ {\bigl (}(w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}){\scriptscriptstyle {\Box }}w_{1}{\bigr )}=f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}){\scriptscriptstyle {\Box }}(f\circ w_{1})\,.$

Dieser Lift kann in zwei Schritten konstruiert werden. Im ersten Schritt konstruiert man den Lift der Schleife ${}f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})$ zum Anfangspunkt ${}e_{0}$, und das haben wir mit der Einschränkung von ${}{\tilde {H}}$ auf ${}I\times \{1\}$ bereit getan. Im zweiten Schritt konstruiert man den Lift des Weges ${}f\circ w_{1}$ zu dem Anfangspunkt, der gerade der Endpunkt des im ersten Schritt konstruierten Liftes ist. Dieser Lift war ja, wie bereits gezeigt, eine Schleife an ${}e_{0}$, also ist dies ${}{\tilde {f\circ w_{1}}}$. Offensichtlich ist ${}f\circ {\bigl (}(w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}){\scriptscriptstyle {\Box }}w_{1}{\bigr )}$ homotop relativ ${}\{0,1\}$ zu ${}f\circ w_{2}$, was nach Fakt auch für die Lifts gilt. Es folgt insbesondere

${}{\tilde {f\circ w_{1}}}(1)={\tilde {f\circ w_{2}}}(1)\,$

was zeigt, dass ${}{\tilde {f}}$ wohldefiniert ist.

Nun zur Stetigkeit von ${}{\tilde {f}}$. Es sei ${}y\in Y$ und ${}{\tilde {f}}(y)\in V\subseteq E$ eine Umgebung des Bildpunktes. Gesucht ist eine Umgebung ${}y\in W\subseteq Y$ mit ${}{\tilde {f}}(W)\subseteq Y$. Diese konstruiert man wie folgt. Es sei ${}U\subseteq X$ eine offene Menge aus einer Elementarüberdeckung mit ${}p({\tilde {f}}(y))=f(y)\in U$. Es sei weiter ${}\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times p^{-1}(f(y))$ eine topologische Äquivalenz. Dann ist die Einschränkung von ${}p$ auf ${}\phi ^{-1}(U\times \{{\tilde {f}}(y)\})$ ebenso eine topologische Äquivalenz. Insbesondere ist

${}V^{\prime }:=V\cap \phi ^{-1}(U\times \{{\tilde {f}}(y)\})\,$

eine Umgebung von ${}{\tilde {f}}$. Dann ist aber auch ${}p(V^{\prime })$ eine Umgebung von ${}f(y)$. Da ${}f$ stetig ist, gibt es eine Umgebung ${}y\in W^{\prime }\subseteq Y$ mit ${}f(W^{\prime })\subseteq p(V^{\prime })$. Nun ist ${}Y$ nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend. Demnach gibt es eine weg-zusammenhängende Umgebung ${}y\in W\subseteq W^{\prime }$. Die Behauptung ist nun, dass ${}{\tilde {f}}(W)\subseteq V$ gilt. Denn sei ${}z\in W$. Zur Konstruktion von ${}{\tilde {f}}(y)$ benötigen wir einen Weg ${}w_{z}$ von ${}y_{0}$ nach ${}z$. Es sei ${}w_{y}$ ein Weg von ${}y_{0}$ nach ${}y$ und sei ${}w$ ein Weg von ${}y$ nach ${}z$, der ganz in ${}W$ verläuft. Dann ist ${}w_{y}{\scriptscriptstyle {\Box }}w$ ein Weg von ${}y_{0}$ nach ${}z$. Der Endpunkt ${}{\tilde {f}}(z)$ ist also gegeben durch den Endpunkt des Liftes ${}{\tilde {f\circ w}}$ zum Anfangspunkt ${}{\tilde {f}}(y)$. Da

${}p\colon V^{\prime }\to p(V^{\prime })\,$

eine topologische Äquivalenz ist und ${}f(W)\subseteq p(V^{\prime })$, ist der Lift ${}{\tilde {f\circ w}}$ zum Anfangspunkt ${}{\tilde {f}}(y)\in V^{\prime }$ ein Weg mit Bild in ${}V^{\prime }$. Insbesondere ist der Endpunkt ${}{\tilde {f}}(z)\in V^{\prime }\subseteq V$, was zu zeigen war.

Zur bewiesenen Aussage