Topologie/Eigenschaften Topologischer Räume/Topologie des Intervalls/Aufgabe

Es sei ${}[0,1]=\lbrace t\in \mathbb {R} {\text{ mit }}0\leq t\leq 1\rbrace$ das Einheitsintervall. Eine Teilmenge ${}U\subseteq [0,1]$ heißt offen in ${}[0,1]$, wenn es für jeden Punkt ${}x\in U$ ein ${}\epsilon >0$ gibt mit der Eigenschaft, dass für jedes ${}y\in [0,1]$ mit ${}\vert y-x\vert <\epsilon$ schon ${}y\in U$ gilt. Es sei nun ${}A$ eine Menge und ${}U_{\alpha }\subseteq [0,1]$ offen in ${}[0,1]$ für alle ${}\alpha \in A$. Diskutieren Sie die folgenden Aussagen:

1. Die Vereinigung ${}\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\,$ ist offen in ${}[0,1]$.
2. Der Schnitt ${}\bigcap _{\alpha \in A}U_{\alpha }\,$ ist offen in ${}[0,1]$.

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