Topologie/Topologische Äquivalenz/Euklidischer Spezialfall/Beispiel

Aus Wikiversity

Der Kreis und das Quadrat sind topologisch äquivalent. Eine topologische Äquivalenz ist gegeben durch

und ist stetig als Komposition stetiger Abbildungen (Absolutbetrag, Maximum, Inverses, Skalarmultiplikation). Die Umkehrabbildung ist

wie man nachrechnen kann. Die Abbildung ist wieder stetig als Komposition stetiger Abbildungen (Quadrat, Quadratwurzel, Summe, Inverses, Skalarmultiplikation).

Ebenso sind die Kugeloberfläche und die Würfeloberfläche topologisch äquivalent. Aber die Kugeloberfläche und der Torus sind nicht zueinander topologisch äquivalent. Es ist nicht leicht, für letzteres einen guten Grund (also einen Beweis) anzugeben, obwohl diese Tatsache ja recht plausibel erscheint.