Beweis
Die symmetrische Potenz
der Matrix beschreibt die durch die lineare Abbildung
induzierte Abbildung des Polynomrings
auf sich selbst im Grad
. Der Eintrag in der Zeile
und Spalte
ist also der Koeffizient zu
von
-
Die
-te Potenz ist nach dem Multinomialsatz
-
Um den Koeffizienten zu
des gesamten Produktes zu bestimmen, muss man die Einzelprodukte der Form
-
![{\displaystyle {}t_{1}^{\lambda _{1}}X^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}X^{\lambda _{n}}=t_{1}^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}X^{\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b08246ad7d3131892c8484119e5aceb9a084b7e)
(mit Vorfaktoren)
mit
-
![{\displaystyle {}\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=\mu \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9506b96c458b21f3516036a44e76f2e9a95762)
betrachten. Da die
Variablen sind, lässt sich aus dem Monom
das Mehrfachtupel
rekonstruieren. Dieses legt
als Summe und auch
über
fest. Dies bedeutet, dass jedes
in der symmetrischen Potenz einer Variablenmatrix nur in einem Eintrag vorkommt. In Charakteristik
sind die Binomialkoeffizienten nicht
, daher sind sämtliche Einträge der symmetrischen Potenz linear unabhängig.