Uneigentliches Integral/von 0 bis infty/1 durch alpha^n(x^2 +beta^2)^n/Aufgabe

Es seien ${}\alpha >0,\beta >0$. Für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ definiert man

$a_{n}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{n}(x^{2}+\beta ^{2})^{n}}}dx.$

a) Zeige die Konvergenz des uneigentlichen Integrals.

b) Mittels partiellen Integration beweisen Sie:

$a_{n}=2n(a_{n}-\alpha \beta ^{2}a_{n+1}),\ \ \ \ n\geq 1.$

c) Bestimme ${}a_{3}$.

d) Untersuche die Konvergenz der Reihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ bezüglich des Wertes ${}\alpha \beta ^{2}$.

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