Vektorräume/K/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Charakterisierung/Fakt

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}{\mathbb {K} }$, die mit einem Skalarprodukt versehen seien, und sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für alle ${}u,v\in V$ ist ${}d(\varphi (u),\varphi (v))=d(u,v)$.
3. Für alle ${}v\in V$ ist ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert$.
4. Für alle ${}v\in V$ mit ${}\Vert {v}\Vert =1$ ist auch ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =1$.

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