Wie können die einzelnen Parameter optimiert werden, damit eine maximale Sprungweite erreicht wird?

Ähnlich wie beim "Schrägen Wurf" folgt der Körperschwerpunkt eines Athleten beim Weitsprung einer Wurfparabel.

• Definition - schräger/schiefer Wurf:
  • Beim schrägen Wurf wird ein Körper unter einem Winkel α zur Horizontalen abgeworfen und bewegt sich unter Einfluss der Schwerkraft, bis er wieder landet.
• Für die Form der Flugbahn ist unmaßgeblich, dass der Springer, im Gegensatz zu einem geworfenen Ball, aktiv abspringt. Was zählt sind die Kräfte, die während der Flugphase auf ihn wirken. Beim Ball, wie auch beim Springer wirkt ausschließlich die Schwerkraft und die Wurf-/Sprungweite hängt von den Parametern Abwurf-/Absprunggeschwindigkeit & Abwurf-/Absprungwinkel α ab.
• Es handelt sich hierbei um eine zweidimensionale Bewegung, d.h. dass man zwei Koordinaten, die momentane Weite x(t) und die momentane Höhe y(t) angeben muss, um die Position des geworfenen Körpers anzugeben.
• Im Fall des schrägen Wurfs hat die Kurve die Gestalt einer Parabel, der bekannten Wurfparabel: Der "geworfene" Körper (in unserem Fall der Athlet) steigt an, erreicht in Höhe h seinen höchsten Punkt und trifft nach der Wurfweite (in unserem Fall: Sprungweite) wieder auf dem Erdboden auf.

Wir wollen zunächst die Formeln des schrägen Wurfs herleiten:

• Die Bewegung in x-Richtung verläuft völlig unabhängig von der in y-Richtung und umgekehrt, sodass beide einzeln betrachtet werden können:
  • In x-Richtung (Horizontale) folgt der Körper dem Trägheitsgesetz, d.h. es wirken keine Kräfte in dieser Richtung & die Geschwindigkeit des Objektes bleibt somit immer gleich. Bei konstanter Geschwindigkeit ändert sich die Entfernung daher linear mit der Zeit --> x(t)=v_xo*t (1) (x-Ortskomponente).
  • In y-Richtung (Vertikale) wirkt die Erdbeschleunigung (g = 9,81m/s²) und ist somit nichts anderes als der freie Fall, die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Beschleunigung -g. Diese sorgt dafür, dass das Objekt auch wieder landet, nachdem es abgesprungen ist, d.h. wieder nach unten "fällt". --> y(t)=v_y0*t-g/2*t² (2) (y-Ortskomponente).
• Die zweidimensionale Bewegung beim schrägen Wurf setzt sich aus zwei eindimensionalen Bewegungsformen zusammen: Die gleichförmige Bewegung in x-Richtung (Horizontalgeschwindigkeit) und die gleichmäßig beschleunigte Bewegung in y-Richtung (Vertikalgeschwindigkeit) , d.h. v₀ = v_xo + v_yo.
• Hier wirken also zwei Kräfte nicht in eine, sondern in verschiedene Richtungen. Diese können jedoch durch eine einzelne Kraft ersetzt werden. Es entsteht ein sogenanntes Kräfteparallelogramm, indem wiederum ein rechtwinkliges Dreieck entsteht.
  • Mithilfe des tan können wir die einzelnen Geschwindigkeiten v_x & v_y bestimmen & erhalten folgende Geschwindigkeitsformel:
    • in x-Richtung: v_x = v₀*cos(α) (3)
    • in y-Richtung: v_y = v₀*sin(α) (4)
• Setzen wir (1) & (2) in (3) & (4) ergeben sich für die x- und y-Ortskomponenten folgende Gleichungen:
  • x(t) = v₀*t*cos(α)
  • y(t) = v₀*t*sin(α)-g/2*t².
• Die Bedingung für das Erreichen der Sprungweite ist y(t₀) = 0, denn wenn der Springer landet, muss er wieder am Boden sein, d.h. y(t)=0m. Wir wollen also die Zeit t₀ finden, bei der y(t₀)=0 ist:
  • 0 = y(t₀) = v₀*sin(α)*t₀–g/2*t₀²
  • Durch Äquivalenzumformung erhalten wir: t₀ = (2v₀*sin(α))/g
    • Das ist die Zeit, die vom Absprung bis zur Landung verstreicht.
• Diese Gleichung können wir jetzt in x(t) einsetzen, um herauszufinden, wie weit der Springer gesprungen ist. Die Weite hängt nämlich von der Zeit ab, die wiederum vom Winkel abhängig ist, also:
  • x(t₀) = 2v₀²*cos(α)*sin(α))/g --> x(t₀) = Weite des Sprungs zum Zeitpunkt t₀, Ausdruck für die Weite, abhängig davon, in welchem Winkel der Springer abspringt.
  • Hier kann man noch berücksichtigen, dass sin(α)*cos(α) = ½ sin(2*α) ist. Daher ergibt sich endgültig x(t₀) = v₀²/g*sin(2*α).

Optimierung des Absprungwinkels:

• Da wir den Sprung optimieren möchten, muss die Sprungweite, d.h. x(t₀) so groß wie möglich werden und zwar indem wir den richtigen Absprungwinkel bzw. Winkel für den Absprung wählen, unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit konstant bleibt. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten:
  • 1. Geometrisch:
    • Hier muss die Sinusfunktion also ihren maximalen Wert 1 annehmen. Das ist der Fall bei α = 45°.
    • Berücksichtigen wir nicht die Vereinfachung von sin(α)*cos(α) = ½ sin(2*α), so müssen wir "sin(α)*cos(α)" maximieren. Das können wir uns als Fläche eines Quadrats vorstellen.
      • Wählen wir z.B. α = 0° dann ist zwar cos(α) am größten, weil cos(0) = 0, aber sin(α) nicht, weil sin(0) = 0 --> Fläche cos(0) * sin(0) = 0 --> nicht maximal!
      • Dann wählen wir z.B. α = 90°: cos(90) = 0 & sin(90) = 1 --> auch schlecht!
      • Aus der Schule wissen wir, dass das Quadrat den größten Flächeninhalt hat, d.h. wenn sin und cos den gleichen Wert annehmen. Das ist der Fall bei α = 45°: sin(45) = √2/2 = 0,7071067812 und cos(45) = √2/2 = 0,7071067812 --> Also ist α = 45° der optimale Winkel für den Absprung.
  • 2. Optimierungsproblem:
    • Diese Variante der Optimierung lösen wir in Maxima:
    • D.h. 0 = dx(t)/dα (Befehl in Maxima: diff((2v₀²*cos(α)*sin(α))/g)α)
    • Durch Äquivalenzumformung (und den Befehl "solve") ergibt sich: cos(α) = sin(α) --> das ist bei α = 45° der Fall, d.h. 45° ist der optimale Absprungwinkel!

Optimierung der Geschwindigkeit:

• Da neben dem Absprungwinkel auch die Anlaufgeschwindigkeit die Sprungweite beeinflusst, muss auch diese optimiert werden. Auch das lösen wir mit Hilfe von Maxima.
  • D.h. wir leiten partiell nach v₀ ab und setzen die Ableitung gleich 0.
  • 0 = dx(t)/v₀ (Befehl in Maxima: diff((2v₀²*cos(α)*sin(α))/g)v₀)
  • Durch den Befehl "solve" ergibt sich: v₀ = 0