Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt mit Beweisklappe

Satz (Kleiner Fermat)

Für eine Primzahl ${}p$ und eine beliebige ganze Zahl ${}a$ gilt

$a^{p}\equiv a\mod p.$

Anders ausgedrückt: ${}a^{p}-a$ ist durch ${}p$ teilbar.

Beweis

Ist ${}a$ nicht durch ${}p$ teilbar, so definiert ${}a$ ein Element ${}{\bar {a}}$ in der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$; diese Gruppe hat die Ordnung ${}p-1$, und nach dem Satz von Lagrange gilt ${}{\bar {a}}^{p-1}=1$. Durch Multiplikation mit ${}a$ ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von ${}p$ gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig ${}0$ steht.

$\Box$