Beweis
Der Binomialkoeffizient
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![{\displaystyle {}{\binom {2n}{n}}={\frac {(2n)\cdot (2n-1)\cdots (n+2)\cdot (n+1)}{n\cdot (n-1)\cdots 2\cdot 1}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbacb660b6000e929ef60e62c8e838d4b19c5a2)
wird von allen Primzahlen
mit
geteilt, da diese den Zähler, aber nicht den Nenner teilen. Aus der allgemeinen Binomischen Formel ergibt sich die Abschätzung
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![{\displaystyle {}2^{2n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{\binom {2n}{k}}>{\binom {2n}{n}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a06c9c084d76d1265527e11c51d25969918139)
Diese zwei Beobachtungen ergeben zusammen die Abschätzung
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![{\displaystyle {}2^{2n}>\prod _{n<p\leq 2n,\,p\in {\mathbb {P} }}p\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ebfc2f8d40b6a8581ab8cc388541713d17fbec)
Wir wenden auf diese Abschätzung den natürlichen Logarithmus an und erhalten
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![{\displaystyle {}2n\ln(2)>\sum _{n<p\leq 2n,\,p\in {\mathbb {P} }}\ln(p)=\vartheta (2n)-\vartheta (n)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/076639698227d7a0273910b3f3178ce6f4f94256)
Geschicktes Aufsummieren ergibt dann
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vartheta (2^{r})-\vartheta (1)&=(\vartheta (2)-\vartheta (1))+(\vartheta (4)-\vartheta (2))+\cdots +(\vartheta (2^{r})-\vartheta (2^{r-1}))\\&<2\ln(2)+4\ln(2)+\cdots +2\cdot 2^{r-1}\ln(2)\\&=\sum _{i=0}^{r-1}2\cdot 2^{i}\cdot \ln(2)\\&=2\ln(2)(1+2+4+\cdots +2^{r-1})\\&=2\ln(2)(2^{r}-1)\\&=\ln(2)(2^{r+1}-2).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9e186ff84592df3d150c3bf0821fb70fc1d32b)
Insbesondere erhält man für Zahlen
mit
die Abschätzung
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![{\displaystyle {}\vartheta (x)\leq \vartheta (2^{r})<(2^{r+1}-2)\ln(2)<2^{r+1}\ln(2)=(4\ln(2))\cdot 2^{r-1}<(4\ln(2))\cdot x\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050d2fcf787c2c292301a6d66001286b7ef0131b)