Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Faserringe/Bemerkung

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Das Verhalten von Primzahlen in einer quadratischen Erweiterung lässt sich aus der oben erzielten Beschreibung mit Gleichungen erhalten.

Generell wird bei das Verhalten von in durch beschrieben, wobei bedeutet, dass die ganzzahligen Koeffizienten durch ihre Restklasse modulo ersetzt werden. Wir nennen den Ring

den Faserring über .

Bei hat man einfach

wobei man durch ersetzen kann. Die prinzipiellen Möglichkeiten werden in Fakt beschrieben. Ob über ein oder zwei Primideale liegen hängt davon ab, ob ein Quadratrest modulo ist und ob ungerade ist, und ist prim genau dann, wenn kein Quadratrest modulo ist.

Bei hat man

Ist ungerade, so ist eine Einheit in und man kann quadratisch ergänzen. Dann ist

Der Faserring hat daher die Form und nach Multiplikation der Gleichung mit der Einheit kann man dies als schreiben, so dass es wieder darum geht, ob ein Quadratrest modulo ist.

Ist hingegen , so schreibt sich die Gleichung als , wobei ist, wenn ist, und , wenn . Im ersten Fall ist die Gleichung irreduzibel über und ist prim in , im zweiten Fall ist die Gleichung reduzibel und zerfällt in zwei Primideale.