Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ideal und konjugiertes Ideal/Produktbeschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ durch eine ${}\mathbb {Z}$-Basis ${}a,b=\alpha +\beta \omega$ wie im Fakt gegeben. Das konjugierte Ideal ${}{\overline {\mathfrak {a}}}$ hat die Basis ${}a$ und ${}{\overline {b}}$. Das Produktideal ${}{\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}$ hat die vier Erzeuger

$a^{2},N(b),a{\bar {b}},ab.$

Wir behaupten, dass dieses Ideal gleich dem von ${}(a\beta )$ erzeugten Ideal ist, was ja nach Fakt die Norm von ${}{\mathfrak {a}}$ ist. Zunächst teilt ${}\beta$ sowohl ${}a$ als auch ${}\alpha$: Wegen ${}a\omega \in {\mathfrak {a}}$ hat man nämlich eine Darstellung

${}a\omega =\gamma a+\delta (\alpha +\beta \omega )\,$

mit ${}\gamma ,\delta \in \mathbb {Z}$. Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich einerseits ${}a=\delta \beta$ und andererseits ${}\gamma a+\delta \alpha =0$, woraus nach Kürzen mit ${}\delta$ sich

${}\alpha =-\gamma \beta \,$

ergibt. Insbesondere ist

${}{\mathfrak {a}}=(a,\alpha +\beta \omega )=(\beta \delta ,-\beta \gamma +\beta \omega )=(\beta )(\delta ,-\gamma +\omega )\,.$

Mit dem Ideal ${}{\mathfrak {b}}=(\delta ,-\gamma +\omega )$ können wir wegen

${}{\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}=(\beta ^{2}){\mathfrak {b}}{\overline {\mathfrak {b}}}\,$

und wegen ${}N({\mathfrak {a}})=a\beta =\delta \beta ^{2}=\beta ^{2}N({\mathfrak {b}})$ annehmen, dass ${}\beta =1$ ist.

In dieser neuen Situation müssen wir ${}{\mathfrak {a}}{\bar {\mathfrak {a}}}=(a)$ zeigen. Aufgrund von ${}N(b)\in {\mathfrak {a}}\cap \mathbb {Z} =(a)$ haben wir die Inklusion ${}{\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}\subseteq (a)$. Wir betrachten die Inklusionskette (in ${}A_{D}$)

${}{\left(a^{2},N(b),a{\left(b+{\overline {b}}\right)}\right)}\subseteq {\left(a^{2},N(b),ab,a{\overline {b}}\right)}={\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}\subseteq (a)\,.$

Es sei ${}c\in \mathbb {Z}$ der Erzeuger des Ideals links. Wir behaupten zunächst, dass die linke Inklusion eine Gleichheit ist. Dafür betrachten wir die Norm und die Spur von ${}{\frac {ab}{c}}$ und erhalten

${}N{\left({\frac {ab}{c}}\right)}={\frac {N(a)N(b)}{N(c)}}={\frac {a^{2}N(b)}{c^{2}}}\in \mathbb {Z} \,$

und

${}S{\left({\frac {ab}{c}}\right)}={\frac {1}{c}}S(ab)={\frac {1}{c}}(ab+a{\bar {b}})\in \mathbb {Z} \,.$

Damit gehören die Norm und die Spur zu ${}\mathbb {Z}$ und damit ist nach Fakt das Element selbst ganz und somit ist ${}ab$ ein Vielfaches von ${}c$. Wir wissen also

${}{\frac {ab}{c}}={\frac {a(\alpha +\omega )}{c}}={\frac {\alpha }{c}}a+{\frac {a}{c}}\omega \in A_{D}\,$

und damit ist ${}{\frac {a}{c}}\in \mathbb {Z}$. Also wird ${}a$ von ${}c$ geteilt und in der Inklusionskette gilt Gleichheit.

Zur bewiesenen Aussage