Zirkel und Lineal/Winkeldreiteilung/cos 20/Minimalpolynom/Bemerkung

Wir zeigen direkt, dass man den Winkel ${}20^{\circ }$ Grad nicht konstruieren kann (obwohl man ${}60^{\circ }$ Grad konstruieren kann). Aufgrund der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen gilt

${}\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,$

und damit

${}{\begin{aligned}(2\cos 20^{\circ })^{3}-3(2\cos 20^{\circ })-1&=2{\left(4\cos ^{3}20^{\circ }-3\cos 20^{\circ }-{\frac {1}{2}}\right)}\\&=2{\left(\cos 60^{\circ }-{\frac {1}{2}}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$

Also wird ${}2\cos 20^{\circ }$ vom Polynom ${}X^{3}-3X-1$ annulliert. Dieses Polynom hat keine ganzzahlige Nullstelle und ist daher nach Fakt irreduzibel. Also muss es nach Fakt das Minimalpolynom von ${}2\cos 20^{\circ }$ sein. Daher kann ${}2\cos 20^{\circ }$ nach Fakt nicht konstruierbar sein und damit ebensowenig ${}\cos 20^{\circ }$.