Zyklische Gruppe/Z mod n/Beispiel

Es sei ${}G$ eine zyklische Gruppe mit einem Erzeuger ${}g$. Wir betrachten den im Sinne von Fakt zugehörigen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n}.$

Da ein Erzeuger vorliegt, ist diese Abbildung surjektiv. Der Kern dieser Abbildung ist durch die Ordnung von ${}g$ gegeben, die wir ${}k$ nennen (oder ${}0$, wenn die Ordnung ${}\infty$ ist). Aufgrund von Fakt gibt es eine kanonische Isomorphie

${\tilde {\varphi }}\colon \mathbb {Z} /(k)\longrightarrow G.$

Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie für jedes ${}k$ genau eine zyklische Gruppe, nämlich ${}\mathbb {Z} /(k)$.