Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge.

Dann ist

${}\Gamma (V,{\mathcal {O}})=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {rad} ({\mathfrak {a}})\,,$

d.h. der globale Schnittring von ${}V$ ist gleich dem Koordinatenring von ${}V$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen