Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt/Beweis

Beweis

Ein Polynom ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ liefert direkt eine algebraische Funktion auf ganz ${}V$, was einen Ringhomomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}})$

induziert. Ein Element ${}F\in {\mathfrak {a}}$ induziert dabei die Nullfunktion, nach der Definition von ${}V({\mathfrak {a}})$. Für ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}F^{k}\in {\mathfrak {a}}$ ist mit ${}F^{k}=0$ auf ${}V$ auch ${}F=0$ auf ${}V$. Daher ergibt sich insgesamt ein Ringhomomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {rad} ({\mathfrak {a}})\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}}).$

Es sei nun ${}G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ so, dass ${}G$ auf ${}V$ die Nullabbildung induziert. Dann gehört ${}G$ nach dem Hilbertschen Nullstellensatz zum Radikal von ${}{\mathfrak {a}}$. D.h. die Abbildung ist injektiv.

Es sei nun ${}f:V\rightarrow K$ ein algebraische Funktion. Dann gibt es zu jedem Punkt ${}P\in V$ zwei Polynome ${}G_{P},H_{P}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}P\in D(H_{P})$ und mit ${}f={\frac {G_{P}}{H_{P}}}$ auf ${}D(H_{P})$. Die ${}D(H_{P})$ bilden eine offene Überdeckung von ${}V$ und das bedeutet nach Fakt, dass die ${}H_{P}$ in ${}R$ das Einheitsideal erzeugen. Dann gibt es aber auch eine endliche Auswahl davon, die das Einheitsideal erzeugen, sagen wir ${}H_{i}=H_{P_{i}}$, ${}i=1,\ldots ,m$. Dann wiederum überdecken diese ${}D(H_{i})$, ${}i=1,\ldots ,m$, ganz ${}V$.

Auf den Durchschnitten ${}D(H_{i}H_{j})=D(H_{i})\cap D(H_{j})$ haben wir die Identitäten

$f(Q)={\frac {G_{i}(Q)}{H_{i}(Q)}}={\frac {G_{j}(Q)}{H_{j}(Q)}}{\text{ für alle}}Q\in D(H_{i}H_{j}).$

Daraus folgt nach Fakt, dass

${}H_{i}H_{j}G_{i}H_{j}=H_{i}H_{j}G_{j}H_{i}\,$

gilt.

Da die ${}H_{i}$ das Einheitsideal erzeugen gibt es Elemente ${}A_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit

$\sum _{i=1}^{m}A_{i}H_{i}=1$

in ${}R$. Wir behaupten, dass das Polynom

$F=\sum _{i=1}^{m}A_{i}G_{i}$

auf ${}V$ die Funktion ${}f$ induziert. Dazu sei ${}Q\in V$ ein Punkt, und zwar sei ohne Einschränkung ${}Q\in D(H_{1})$. Dann ist

${}{\begin{aligned}{\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}&={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}(\sum _{i=1}^{m}A_{i}H_{i})(Q))\\&=G_{1}(Q)A_{1}(Q)+\sum _{i=2}^{m}{\frac {G_{1}(Q)H_{i}(Q)}{H_{1}(Q)}}A_{i}(Q)\\&=G_{1}(Q)A_{1}(Q)+\sum _{i=2}^{m}G_{i}(Q)A_{i}(Q)\\&=(\sum _{i=1}^{m}A_{i}G_{i})(Q))\\&=F(Q).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage