Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Addition und Multiplikation/bildet Ring/Fakt/Beweis

Beweis

Wir müssen zeigen, dass die konstante Nullfunktion und die konstante Einsfunktion auf ${}U$, das Negative einer algebraischen Funktion, und die Summe und das Produkt von zwei algebraischen Funktionen auf ${}U$ wieder algebraisch sind. Wir beschränken uns auf die Summe der algebraischen Funktionen ${}f_{1}$ und ${}f_{2}$. Es sei ${}P\in U$ ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es Polynome ${}G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit

$f_{1}(Q)={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}\,\,\mathrm {f{\ddot {u}}r} {\text{ alle }}Q\in D(H_{1})\subseteq U,P\in D(H_{1})$

und

$f_{2}(Q)={\frac {G_{2}(Q)}{H_{2}(Q)}}\,\,\mathrm {f{\ddot {u}}r} {\text{ alle }}Q\in D(H_{2})\subseteq U,P\in D(H_{2})\,.$

Es sei ${}H:=H_{1}H_{2}$. Dann ist ${}P\in D(H)=D(H_{1})\cap D(H_{2})\subseteq U$. Für einene beliebigen Punkt ${}Q\in D(H)$ ist dann

${}(f_{1}+f_{2})(Q)=f_{1}(Q)+f_{2}(Q)={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}+{\frac {G_{2}(Q)}{H_{2}(Q)}}={\frac {G_{1}(Q)H_{2}(Q)+G_{2}(Q)H_{1}(Q)}{H_{1}(Q)H_{2}(Q)}}={\frac {(G_{1}H_{2}+G_{2}H_{1})(Q)}{(H_{1}H_{2})(Q)}}\,,$

was eine polynomiale Darstellung der Summenfunktion in einer Zariski-offenen Umgebung des Punktes ${}P$ ergibt.

Zur bewiesenen Aussage