Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge ist Nullstellenmenge ihres Verschwindungsideals/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}P\in V$ und ${}F\in I(V)$. Da ${}F$ auf ganz ${}V$ verschwindet, ist insbesondere ${}F(P)=0$, also ${}P\in V(I(V))$. Für die Umkehrung sei ${}V=V({\mathfrak {a}})$. Jedes ${}h\in {\mathfrak {a}}$ verschwindet auf ${}V$, so dass ${}{\mathfrak {a}}\subseteq I(V)$ ist. Damit ist ${}V(I(V))\subseteq V({\mathfrak {a}})$.

Zur bewiesenen Aussage