Algebraische Kurve/Körpererweiterungen/Punkte/Textabschnitt

Betrachten wir die durch das Polynom

${}F=X^{2}+Y^{2}+1\,$

gegebene Nullstellengebilde im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Dieses ist offenbar leer, da ja für ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ wegen der Nichtnegativität der Quadrate direkt ${}F(x,y)\geq 1>0$ gilt. Wenn man hingegen das gleiche Polynom über ${}{\mathbb {C} }$ auffasst und nach Lösungen in ${}{\mathbb {C} }^{2}$ sucht, so ergibt sich eine Vielzahl an Nullstellen. Oder betrachten wir das Polynom

${}G=X^{2}Y+XY^{2}+1\,$

über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(2)$ mit zwei Elementen. Für jedes Punktepaar ${}(x,y)\in \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ besitzt dieses Polynom den Wert ${}1$ und besitzt keine Nullstelle. Wenn man aber zu dem Körper mit vier Elementen übergeht, also die endliche Körpererweiterung

${}\mathbb {Z} /(2)\subseteq {\mathbb {F} }_{4}=\mathbb {Z} /(2)[T]/(T^{2}+T+1)\,$

durchführt, so findet man dort beispielsweise die Lösung ${}(1,t)$, wobei ${}t$ die Restklasse von ${}T$ bezeichnet.

In der algebraischen Geometrie stellt man die Polynome bzw. die zugehörigen Gleichungen in den Mittelpunkt. Dazu braucht man zunächst einen Grundkörper ${}K$, über dem die Polynome definiert sind. Die zugehörige Nullstellenmenge betrachtet man aber nicht nur in ${}K^{2}$, sondern allgemeiner in ${}L^{2}$, wobei ${}K\subseteq L$ eine (nicht notwendigerweise endliche) Körpererweiterung bezeichnet. Wesentliche Eigenschaften der Polynome werden erst dann sichtbar, wenn man das Lösungsverhalten zu verschiedenen Körpererweiterungen untersucht. Dabei spielt der algebraische Abschluss des Körpers eine besondere Rolle. Es ist aber auch wichtig, sich zu fragen, welche Lösungen es über einem gegebenen Körper gibt. Der reelle Kreis ${}{\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$ ist ein geometrisch sehr einfaches Objekt. Dagegen ist der rationale Kreis ${}{\left\{(x,y)\in \mathbb {Q} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$, das durch die gleiche Gleichung definiert wird, ein zahlentheoretisch recht subtiles Objekt, das eng mit pythagoreischen Tripeln zusammenhängt.

Wenn ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die affin-algebraische Menge zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ ist, so bezeichnen wir die entsprechende Menge über ${}L$ zu einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ mit ${}V_{L}$, also

${}V_{L}={\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}\mid F(P)=0{\text{ für alle }}F\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,,$

wobei das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ (als Erweiterungsideal) bzw. ein Erzeugendensystem davon in ${}L[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ aufzufassen ist. Für diese Bezeichnung ist es entscheidend, dass man bei ${}V({\mathfrak {a}})$ nicht nur die (rein mengentheoretische) Nullstellenmenge, sondern auch das definierende Ideal als Teil der Information betrachtet. Ein Extremfall ist, wenn zwei verschiedene Ideale ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ beide eine leere Nullstellenmenge haben, da sind im Allgemeinen ${}V({\mathfrak {a}})_{L}$ und ${}V({\mathfrak {b}})_{L}$ auch als Punktmenge verschieden. Die Notation ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}},{{\mathbb {A} }_{L}^{n}}$ orientiert sich auch an dieser Bezeichnungsphilosophie. Einen Punkt ${}P\in V_{L}$ nennt man auch einen ${}L$-Punkt oder einen ${}L$-rationalen Punkt von ${}V$.