Alternierende Gruppe 4/Kleinsche Vierergruppe als Normalteiler/Beispiel

Wir betrachten die alternierende Gruppe ${}A_{4}$. Die vier Permutationen (in Zykeldarstellung)

$\operatorname {id} ,\,\langle 1,2\rangle \langle 3,4\rangle ,\,\langle 1,3\rangle \langle 2,4\rangle ,\,\langle 1,4\rangle \langle 2,3\rangle$

bilden darin eine kommutative Untergruppe ${}V$, in der jedes Element ${}\neq \operatorname {id} \,$ die Ordnung ${}2$ besitzt. Sie ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe. Es handelt sich sogar um einen Normalteiler vom Index drei. Um dies einzusehen verwenden wir Fakt und betrachten exemplarisch ${}\sigma =\langle 1,2\rangle \langle 3,4\rangle$ und ${}\tau =\langle 1,2,3\rangle$ mit dem Inversen ${}\tau ^{-1}=\langle 1,3,2\rangle$. Wir erhalten

$\langle 1,2,3\rangle \langle 1,2\rangle \langle 3,4\rangle \langle 1,3,2\rangle =\langle 1,4\rangle \langle 2,3\rangle ,$

was wieder zu ${}V$ gehört. Die Restklassengruppe ${}A_{4}/V$ muss isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(3)$ sein, die beiden anderen (neben ${}V$) Nebenklassen sind einerseits die Dreierzykel

${}N=\langle 2,3,4\rangle ,\,\langle 1,4,3\rangle ,\,\langle 1,2,4\rangle ,\,\langle 1,3,2\rangle \,$

und andererseits die dazu inversen Dreierzykel

$\langle 2,4,3\rangle ,\,\langle 1,3,4\rangle ,\,\langle 1,4,2\rangle ,\,\langle 1,2,3\rangle .$

Wenn man einen Tetraeder mit nummerierten Ecken anschaut, so entsprechen diese beiden Nebenklassen den Dritteldrehungen im Uhrzeigersinn oder entgegen dem Uhrzeigersinn um die Seiteneckachsen, wobei die Drehrichtung dadurch festgelegt ist, dass man auf den Eckpunkt schaut (welche Orientierung zu welcher Nebenklasse gehört, hängt dabei von der Nummerierung der Ecken ab).