Benutzer:Aschemschat

${}(a+b)^{n+1}$	${}\,=\,$ Potenzgesetze anwenden	${}(a+b)(a+b)^{n}$
	${}\,=\,$ Induktionsvoraussetzung anwenden	${}(a+b)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$
	${}\,=\,$ Distributivgesetz des Rings	${}a(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k})+b(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k})$
	${}\,=\,$ a und b in Summe ziehen. Bei Term 2 wird im selben Schritt b sukzessiv mit a getauscht und dann mit den restlichen b zusammengefasst (also ab=ba angewandt)	${}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}$
	${}\,=\,$ Indexverschiebung von n nach n+1 bei Term 1 (inkl. aller noetigen Anpassungen in der Summe) Indexverschiebung von n nach n+1 bei Term 2 (Hier keine Anpassung noetig, weil n ueber n+1 0 ist.	${}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}$
	${}\,=\,$ Nach Distributivgesetz ausklammern und anschliessend zusammenfassen der beiden Restsummen	${}\sum _{k=0}^{n+1}({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}})a^{k}b^{n+1-k}$
	${}\,=\,$ Anwendung der Regel fuer Binomialkoeffizienten	${}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}$