Benutzer:Bocardodarapti/Fakten

???: Satz von Dini

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum. Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}C(X,\mathbb {R} )$, die punktweise und monoton gegen ein ${}f\in C(X,\mathbb {R} )$ konvergiert.

Dann ist die Konvergenz gleichmäßig.

 

???: Satz von Arzelà-Ascoli

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Maximumsnorm.

Dann ist ${}T$ genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. ${}T$ ist abgeschlossen.
2. ${}T$ ist gleichgradig stetig.
3. Für jeden Punkt ${}x\in X$ ist das Auswertungsbild ${}{\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt.

 

???: Charakterisierung eines kompakten Operators

Es seien ${}V,W$ normierte ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume und sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist kompakt.
2. Das Bild der (offenen oder abgeschlossenen) Einheitskugel von ${}V$ ist relativ kompakt in ${}W$.
3. Jede beschränkte Folge in ${}V$ besitzt eine Teilfolge, deren Bildfolge in ${}W$ konvergiert.

 

???: Dichtheitskriterium im Hilbertraum

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Hilbertraum und ${}T\subseteq V$ eine Teilmenge.

Dann erzeugt ${}T$ genau dann einen dichten Untervektorraum in ${}V$, wenn die Eigenschaft

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

für alle ${}w\in T$ nur für ${}v=0$ gilt.

 

???: Spektralsatz für kompakte Operatoren

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein selbstadjungierter kompakter Operator.

Dann besitzt ${}V$ ein vollständiges Orthonormalsystem aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$.

 

???: Tschebyschow-Polynome als Orthogonalsystem

Die Tschebyschow-Polynome ${}T_{n}$

bilden ein Orthogonalsystem in ${}L^{2}[-1,1]$ bezüglich des Maßes mit der Dichte ${}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}$.

Die Familie ${}{\frac {T_{0}}{\sqrt {\pi }}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}$ und ${}{\frac {{\sqrt {2}}T_{n}}{\sqrt {\pi }}}$, ${}n\geq 1$, bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.