C-Algebra/Diskreter Bewertungsring/Restklassenkörper ist C/Quotientenkörper modulo Ring/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}r_{0}$ die Restklasse von ${}r$ im Restklasssenkörper

   ${}R/(\pi )\cong {\mathbb {C} }\,.$

   Daher ist ${}r-r_{0}$ im Resklassenkörper gleich ${}0$ und somit gilt

   ${}r-r_{0}=s\pi \,$

   in ${}R$ mit einem ${}s\in R$, also

   ${}r=s\pi +r_{0}\,.$

2. Dies folgt durch Induktion nach ${}n$, wobei der Induktionsanfang für ${}n=0$ trivial ist. Der Induktionsschritt ergibt sich, indem man Teil (1) auf das vorhergehende ${}s_{n}$ anwendet.
3. Wegen ${}Q(R)=R_{\pi }$ kann man jedes Element in ${}Q(R)$ als ${}{\frac {s}{\pi ^{n}}}$ schreiben. Wir wenden auf den Zähler Teil (2) mit dem Exponenten ${}n$ des Nenners an und erhalten

   ${}{\begin{aligned}{\frac {s}{\pi ^{n}}}&={\frac {s_{n}\pi ^{n}+r_{n-1}\pi ^{n-1}+\cdots +r_{2}\pi ^{2}+r_{1}\pi +r_{0}}{\pi ^{n}}}\\&=s_{n}+r_{n-1}\pi ^{-1}+\cdots +r_{2}\pi ^{2-n}+r_{1}\pi ^{1-n}+r_{0}\pi ^{-n}.\end{aligned}}$

   Modulo ${}R$ wird der erste Summand zu ${}0$. Die Potenzen ${}\pi ^{-k}$ sind dabei linear unabhängig, andernfalls würde sich durch Multiplikation mit einem ${}\pi ^{n}$ eine lineare Abhängigkeit in ${}R$ ergeben, was nicht sein kann.

Zur gelösten Aufgabe