C/Einfach zusammenhängend/Abschluss über biholomorphe Abbildung homöomorph zu Kreisscheibe/Jede Biholomorphie/Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene einfach zusammenhängende Teilmenge derart, dass es eine biholomorphe Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$

derart gibt, dass ${}\varphi$ zu einer stetigen Abbildung auf den Abschluss ${}{\overline {U}}$ ausgedehnt werden kann, die eine Homöomorphie zwischen dem Rand von ${}U$ und dem Rand der Einheitskreisscheibe induziert. Zeige, dass diese Eigenschaft dann für jede biholomorphe Abbildung

$\psi \colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$

gilt.

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