Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Quader/Abbildung/Zweites Tangentialbündel/Aufgabe

Es sei ${}X$ eine ${}C^{2}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit. Es seien ${}I,J\subseteq \mathbb {R}$ offene Intervalle mit ${}0\in I,J$ und es sei

$\varphi \colon I\times J\longrightarrow X,\,(s,t)\longmapsto \varphi (s,t),$

eine zweifach stetig differenzierbare Abbildung mit ${}\varphi (0,0)=P\in X$.

1. Zeige, dass für jedes ${}s\in I$ die Abbildung ${}\varphi {|}_{\{s\}\times J}$ eine differenzierbare Kurve in ${}X$ definiert.
2. Zeige, dass durch (1) eine differenzierbare Kurve

   $I\longrightarrow TX,\,s\longmapsto [\varphi {|}_{\{s\}\times J}],$

   definiert wird, wobei ${}[\varphi {|}_{\{s\}\times J}]$ den Tangentialvektor dieses Weges im Punkt ${}(s,0)$ bezeichnet.

3. Zeige, dass durch (2) ein Element in ${}TTY$ bestimmt ist.
4. Zeige, dass man jedes Element aus ${}TTY$ durch eine Abbildung ${}\varphi$ wie oben realisieren kann.

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