Direkte Summe/Lineare Abbildung/Fakt

Es sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einer direkten Summenzerlegung

${}V=U_{1}\oplus U_{2}\,.$

Es sei ${}W$ ein weiterer ${}K$-Vektorraum und es seien

$\varphi _{1}\colon U_{1}\longrightarrow W$

und

$\varphi _{2}\colon U_{2}\longrightarrow W$

lineare Abbildungen.

Dann ist durch

${}\varphi (v):=\varphi _{1}(v_{1})+\varphi _{2}(v_{2})\,,$

wobei ${}v=v_{1}+v_{2}$ die direkte Zerlegung ist, eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

gegeben.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen