Es sei ein
Körper
und sei
ein von verschiedenes Polynom. Es sei
ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Indem man in den verschobenen Variablen schreibt, so erhält man ein neues Polynom mit
.
Es sei
-
die homogene Zerlegung von mit und ,
.
Dabei ist der Grad der Kurve und heißt die Multiplizität der Kurve im Punkt . Die Kurve besitzt genau dann eine Singularität in , wenn
ist. Bei einer Faktorzerlegung
in lineare Faktoren, die eventuell erst nach einer endlichen Körpererweiterung vorliegt, nennt man die Geraden , die Tangenten an im Punkt . Im kubischen Fall ist in einem singulären Punkt
,
wobei bei
keine irreduzible Kurve vorliegt. Im irreduziblen Fall ist
und dort gibt es eine Faktorzerlegung
,
wobei die beiden Faktoren gleich oder verschieden sein können.