Beweis
Die Gleichung für den projektiven Abschluss folgt direkt aus
Fakt.
Den Schnitt von mit der projektiven Geraden im Unendlichen erhält man, wenn man in der Gleichung
setzt. Bei
liegt insgesamt die Geradengleichung vor, und der Schnitt mit legt den einzigen Punkt fest. Bei
liegt die Kurvengleichung
-
mit
vor. Setzt man
,
so bleibt übrig, woraus
folgt. Dies entspricht dem einzigen unendlich fernen Punkt .
Für die Multiplizität betrachtet man die affine Gleichung der Kurve auf . D.h. man setzt
und erhält die affine Gleichung
-
und der Punkt ist in diesen Koordinaten der Nullpunkt. Daher ist die Multiplizität gleich mit der einzigen durch
gegebenen Tangente. Bei
ist die Multiplizität und daher liegt ein singulärer Punkt vor.