Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Seien ${}R,S$ und ${}T$ kommutative Ringe, es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus und ${}\psi \colon R\rightarrow T$ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

   ${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

   ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

   ${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S$

   derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$

   ist.
2. Es sei ${}p\in R,\,p\neq 0$. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
   1. ${}p$ ist ein Primelement.
   2. ${}R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
   3. ${}R/(p)$ ist ein Körper.
3. Für eine Primzahl ${}p$ und eine beliebige ganze Zahl ${}a$ gilt

   $a^{p}\equiv a\mod p.$

4. Die Würfelverdopplung mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich.

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