Elliptische Kurve/Allgemeines kubisches Polynom/Verdoppelung/Aufgabe/Lösung

Die Tangente durch ${}(x,y)$ ist durch die Gleichung

${}(3x^{2}+2rx+s)(X-x)-2y(Y-y)=0\,$

bzw.

${}Y={\frac {3x^{2}+2rx+s}{2y}}(X-x)+y={\frac {3x^{2}+2rx+s}{2y}}X-{\frac {3x^{2}+2rx+s}{2y}}x+y=\alpha X+\beta \,$

gegeben. Einsetzen der Geradengleichung in die Kurvengleichung führt auf die Bedingung

${}{\begin{aligned}X^{3}-(\alpha X+\beta )^{2}+rX^{2}+sX+t&=(X-x)^{2}(X-{\tilde {x}})\\\end{aligned}}$

und Vergleich des Koeffizienten zu ${}X^{2}$ führt auf

${}-\alpha ^{2}+r=-2x-{\tilde {x}}\,,$

also

${}{\tilde {x}}=\alpha ^{2}-2x-r\,.$

Der zugehörige ${}Y$-Wert ist dann

${}{\begin{aligned}{\tilde {y}}&=\alpha {\tilde {x}}+\beta \\&=\alpha {\left(\alpha ^{2}-2x-r\right)}+\beta \\&=\alpha ^{3}-2\alpha x-\alpha r+\beta \\&=\alpha ^{3}-3\alpha x-\alpha r+y.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe