Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Addition/Ganzheitsgleichung für alpha/Aufgabe/Lösung

1. Das ist klar, da die Algebraerzeuger ${}y_{1}$ und ${}y_{2}$ unmittelbar eine Ganzheitsgleichung erfüllen.
2. Es ist

   ${}(y_{2}-y_{1})^{2}=y_{2}^{2}+y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}=x_{1}^{3}+ax_{1}+b+x_{2}^{3}+ax_{2}+b-2y_{1}y_{2}\,.$

   Daher ist

   ${}(y_{2}-y_{1})^{2}-{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}=-2y_{1}y_{2}\,$

   und somit ist

   ${}{\begin{aligned}4y_{1}^{2}y_{2}^{2}&=4{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}{\left(x_{2}^{3}+ax_{2}+b\right)}\\&=(y_{2}-y_{1})^{4}-2{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}(y_{2}-y_{1})^{2}+{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}^{2}\\&={\left((y_{2}-y_{1})^{2}-{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}\right)}^{2}.\end{aligned}}$

   Also liegt die Ganzheitsgleichung

   ${}(y_{2}-y_{1})^{4}-2{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}(y_{2}-y_{1})^{2}+{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}^{2}-4{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}{\left(x_{2}^{3}+ax_{2}+b\right)}=0\,$

   vor.

3. Das ergibt sich aus Teil (2), indem man durch ${}(x_{2}-1)^{4}$ teilt.

Zur gelösten Aufgabe