Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Beweis1

Beweis

Zur Existenz. Wir wenden Fakt auf den Grundkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ und das Polynom ${}X^{q}-X$ an und erhalten einen Körper ${}L$ der Charakteristik ${}p$, über dem ${}X^{q}-X$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Fakt gibt es dann einen Unterkörper ${}M$ von ${}L$, der aus genau ${}q$ Elementen besteht.

Zur Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass ein Körper mit ${}q$ Elementen der Zerfällungskörper des Polynoms ${}X^{q}-X$ sein muss, so dass er aufgrund dieser Eigenschaft nach Fakt eindeutig bestimmt ist. Sei also ${}L$ ein Körper mit ${}q$ Elementen, der dann ${}\mathbb {Z} /(p)$ als Primkörper enthält. Da ${}L^{\times }$ genau ${}q-1$ Elemente besitzt, gilt nach Fakt die Gleichung ${}x^{q-1}=1$ für jedes ${}x\in L^{\times }$ und damit auch ${}x^{q}=x$ für jedes ${}x\in L$. Dieses Polynom vom Grad ${}q$ hat also in ${}L$ genau ${}q$ verschiedene Nullstellen, so dass es also über ${}L$ zerfällt. Zugleich ist der von allen Nullstellen erzeugte Unterkörper gleich ${}L$, so dass ${}L$ der Zerfällungskörper ist.

Zur bewiesenen Aussage