Endlicher Körper/8/Operationstafeln

Wir nehmen die Darstellung

${\mathbb {F} }_{8}\cong {\mathbb {F} }_{2}[X]/(X^{3}+X+1)$.

Dabei ist $X^{3}+X+1$ irreduzibel in ${\mathbb {F} }_{2}[X]$, da es keine Nullstelle in ${\mathbb {F} }_{2}$ besitzt ($0^{3}+0+1=1$ und $1^{3}+1+1=1$, also beide $\neq 0$). Es bezeichne $x$ die Restklasse von $X$.

$+$	$0$	$1$	$x$	$1+x$	$x^{2}$	$1+x^{2}$	$x+x^{2}$	$1+x+x^{2}$
$0$	$0$	$1$	$x$	$1+x$	$x^{2}$	$1+x^{2}$	$x+x^{2}$	$1+x+x^{2}$
$1$	$1$	$0$	$1+x$	$x$	$1+x^{2}$	$x^{2}$	$1+x+x^{2}$	$x+x^{2}$
$x$	$x$	$1+x$	$0$	$1$	$x+x^{2}$	$1+x+x^{2}$	$x^{2}$	$1+x^{2}$
$1+x$	$1+x$	$x$	$1$	$0$	$1+x+x^{2}$	$x+x^{2}$	$1+x^{2}$	$x^{2}$
$x^{2}$	$x^{2}$	$1+x^{2}$	$x+x^{2}$	$1+x+x^{2}$	$0$	$1$	$x$	$1+x$
$1+x^{2}$	$1+x^{2}$	$x^{2}$	$1+x+x^{2}$	$x+x^{2}$	$1$	$0$	$1+x$	$x$
$x+x^{2}$	$x+x^{2}$	$1+x+x^{2}$	$x^{2}$	$1+x^{2}$	$x$	$1+x$	$0$	$1$
$1+x+x^{2}$	$1+x+x^{2}$	$x+x^{2}$	$1+x^{2}$	$x^{2}$	$1+x$	$x$	$1$	$0$

$\cdot$	$0$	$1$	$x$	$1+x$	$x^{2}$	$1+x^{2}$	$x+x^{2}$	$1+x+x^{2}$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$x$	$1+x$	$x^{2}$	$1+x^{2}$	$x+x^{2}$	$1+x+x^{2}$
$x$	$0$	$x$	$x^{2}$	$x+x^{2}$	$1+x$	$1$	$1+x+x^{2}$	$1+x^{2}$
$1+x$	$0$	$1+x$	$x+x^{2}$	$1+x^{2}$	$1+x+x^{2}$	$x^{2}$	$1$	$x$
$x^{2}$	$0$	$x^{2}$	$1+x$	$1+x+x^{2}$	$x+x^{2}$	$x$	$1+x^{2}$	$1$
$1+x^{2}$	$0$	$1+x^{2}$	$1$	$x^{2}$	$x$	$1+x+x^{2}$	$1+x$	$x+x^{2}$
$x+x^{2}$	$0$	$x+x^{2}$	$1+x+x^{2}$	$1$	$1+x^{2}$	$1+x$	$x$	$x^{2}$
$1+x+x^{2}$	$0$	$1+x+x^{2}$	$1+x^{2}$	$x$	$1$	$x+x^{2}$	$x^{2}$	$1+x$