Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Charakterisierung/Fakt

Charakterisierungssatz für Isometrien

Sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für alle ${}v,w\in V$ ist ${}d(\varphi (v),\varphi (w))=d(v,w)$.
3. Für alle ${}v\in V$ ist ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen