Ganze injektive Funktion/Linear/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten ${}g(w)=f{\left({\frac {1}{w}}\right)}$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Diese Funktion ist ebenfalls injektiv. Wir behaupten, dass ${}g$ im Nullpunkt keine wesentliche Singularität besitzt. Würde nämlich eine wesentliche Singularität vorliegen, so wäre nach Fakt die Menge ${}g{\left(U{\left(0,r\right)}\setminus \{0\}\right)}$ für jedes ${}r>0$ dicht. Nach Fakt ist ${}g{\left(U{\left(1,{\frac {1}{2}}\right)}\right)}$ offen. Es wäre dann

${}g{\left(U{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}\setminus \{0\}\right)}\cap g{\left(U{\left(1,{\frac {1}{2}}\right)}\right)}\neq \emptyset \,,$

was der Injektivität widerspricht. Es liegt also keine wesentliche Singularität vor und nach Fakt muss ${}f$ ein Polynom sein. Wegen injektiv folgt mit Fakt, dass die Ableitung ${}f'$ nullstellenfrei ist. Daher ist ${}f'$ wegen Fakt konstant und somit ist ${}f$ linear.

Zur bewiesenen Aussage