Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}h$ stetig ist und keine Nullstelle besitzt, ist ${}h$ bzw. ${}{\frac {1}{h}}$ nach dem Zwischenwertsatz entweder stets positiv oder stets negativ, so dass ${}H$ nach Fakt streng monoton und daher nach Aufgabe injektiv (also bijektiv auf sein Bild) ist.
Sei ${}y(t)=H^{-1}(G(t))$ wie angegeben. Dann ist nach Fakt und Fakt

${}{\begin{aligned}y'(t)&={\frac {G'(t)}{H'{\left(H^{-1}(G(t))\right)}}}\\&={\frac {g(t)}{{\frac {1}{h}}{\left(H^{-1}(G(t))\right)}}}\\&=g(t)\cdot h{\left(H^{-1}(G(t))\right)}\\&=g(t)\cdot h(y(t)),\end{aligned}}$

so dass in der Tat eine Lösung vorliegt.
Es sei nun ${}y(t)$ eine differenzierbare Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt. Daraus folgt

${}\int _{t_{1}}^{t_{2}}g(t)\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {y'(t)}{h(y(t))}}\,dt=\int _{y(t_{1})}^{y(t_{2})}{\frac {1}{h(z)}}\,dz\,,$

wobei wir die Substitution ${}z=y(t)$ angewendet haben. Für die zugehörigen Stammfunktionen (mit den unteren Integralgrenzen ${}t_{1}$ bzw. ${}y(t_{1})$) bedeutet dies ${}G(t)=H(y(t))$, also ist ${}y(t)=H^{-1}(G(t))$.
Um die Anfangsbedingung zu erfüllen, kann man ${}t_{0}$ bzw. ${}y_{0}$ als untere Integralgrenzen wählen. Wir zeigen, dass dies die einzige Lösung ist. Es seien also ${}H$ und ${}{\tilde {H}}$ zwei Stammfunktionen zu ${}{\frac {1}{h}}$ und ${}G$ und ${}{\tilde {G}}$ zwei Stammfunktionen zu ${}g$ derart, dass sowohl ${}y(t)=H^{-1}(G(t))$ als auch ${}{\tilde {y}}(t)={\tilde {H}}^{-1}({\tilde {G}}(t))$ die Anfangsbedingung erfüllen. D.h. die beiden Funktionen stimmen zum Zeitpunkt ${}t_{0}$ überein. Da sich Stammfunktionen nur um eine Konstante unterscheiden, können wir ${}{\tilde {H}}=H+c$ und ${}{\tilde {G}}=G+d$ mit zwei Konstanten ${}c,d\in \mathbb {R}$ ansetzen. Es gilt also einerseits ${}H(y(t))=G(t)$ und andererseits ${}H({\tilde {y}}(t))+c={\tilde {H}}({\tilde {y}}(t))={\tilde {G}}(t)=G(t)+d$, so dass ${}H({\tilde {y}}(t))-H(y(t))=d-c$ gilt, woraus wegen ${}{\tilde {y}}(t_{0})=y(t_{0})$ sofort ${}c=d$ folgt. Also ist ${}H({\tilde {y}}(t))=G(t)=H(y(t))$ und somit wegen der Injektivität von ${}H$ auch ${}{\tilde {y}}(t)=y(t)$ für alle ${}t$.

Zur bewiesenen Aussage