Es sei
das Bild in
, in diesem Raum werden wir die Gleichheit nachweisen. Die Homomorphismen darin sind auf den symmetrischen Produkten zu Differentialformen
festgelegt, da diese
erzeugen. Es seien
.
Nach
Fakt
wird
unter einem Differentialoperator
auf
-
abgebildet. Im vorliegenden Fall
ist dies nach
Fakt
gleich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}(\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1}){\left(\prod _{i\in I}f_{i}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}{\left(\sum _{\{1,\ldots ,n\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}\delta _{A_{1}}(f_{i_{1}})\cdots \delta _{A_{m}}(f_{i_{m}})\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}\sum _{\{1,\ldots ,n\}=B_{1}\uplus \ldots \uplus B_{n}{\text{ mit }}B_{i}=\emptyset {\text{ für }}i\notin I}\delta _{B_{1}}(f_{1})\cdots \delta _{B_{n}}(f_{n})\\&=\sum _{\{1,\ldots ,n\}=B_{1}\uplus \ldots \uplus B_{n}}{\left(\sum _{I\subseteq I(B)}(-1)^{\#\left(I\right)}\right)}\delta _{B_{1}}(f_{1})\cdots \delta _{B_{n}}(f_{n}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1220c77ae4df417db047ed2b1b3918e7925a2cd)
wobei hier zu einer geordneten Partition
die Menge der Indizes
, für die
leer ist, mit
bezeichnet wird. In der ersten Gleichung können wir den Summand zu
,
dem keine Partition entspricht, weglassen, da jede Derivation die
annulliert.
Bei
ist die innere Summe stets
, bei
ist die innere Summe gleich
. Daher sind nur die Partitionen relevant, wo keine Teilmenge leer ist, wo also sämtliche Teilmengen einelementig sind. Diese entsprechen genau den Permutationen auf
, der Ausdruck ist also gleich
-
Das symmetrische Produkt
wird unter der natürlichen Abbildung (Scheja-Storch, Beispiel 86.10)
-
auf die gemittelte Auswertung
-
geschickt. Für
stimmt dies mit der oben bestimmten Wirkungsweise überein.