Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt

Regel von l'Hospital

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und ${}a\in I$ ein Punkt. Es seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen, die auf ${}I\setminus \{a\}$ differenzierbar seien mit ${}f(a)=g(a)=0$ und mit ${}g'(x)\neq 0$ für ${}x\neq a$. Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert

${}w:=\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\,$

existiert.

Dann existiert auch der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}},$

und sein Wert ist ebenfalls ${}w$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen