Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt/Beweis

Beweis

Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das Folgenkriterium. Da ${}g'$ im Intervall keine Nullstelle besitzt und ${}g(a)=0$ ist, besitzt auch ${}g$ nach Fakt außer ${}a$ keine Nullstelle. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}I\setminus \{a\}$, die gegen ${}a$ konvergiert. Zu jedem ${}x_{n}$ gibt es nach Fakt, angewandt auf ${}I_{n}:=[x_{n},a]$ bzw. ${}[a,x_{n}]$, ein ${}c_{n}$ (im Innern von ${}I_{n}$) mit

${}{\frac {f(x_{n})-f(a)}{g(x_{n})-g(a)}}={\frac {f'(c_{n})}{g'(c_{n})}}\,.$

Die Folge ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert ebenfalls gegen ${}a$, so dass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen ${}{\frac {f'(a)}{g'(a)}}=w$ konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen ${}w$, und wegen ${}f(a)=g(a)=0$ bedeutet das, dass ${}{\frac {f(x_{n})}{g(x_{n})}}$ gegen ${}w$ konvergiert.

Zur bewiesenen Aussage