Kurs:Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 6

Wir geben einen weiteren Beweis für den Endlichkeitssatz unter der Voraussetzung, dass der Invariantenring ein direkter Summand ist.

Lemma

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf dem positiv graduierten Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ als Gruppe von homogenen Ringautomorphismen operiere. Es sei ${}I_{G}$ das von allen homogenen Invarianten positiven Grades erzeugte Ideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und es sei ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ ein homogenes Idealerzeugendensystem dieses Ideals. Es sei vorausgesetzt, dass der Invariantenring ein homogener direkter Summand des Polynomringes ist.

Dann bilden die ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ ein Algebraerzeugendensystem des Invariantenringes, d.h. es ist

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}=K[f_{1},\ldots ,f_{m}]\,.$

Beweis

Aufgrund der Homogenität der Operation ist der Invariantenring selbst positiv graduiert. Wir beweisen die Inklusion

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\subseteq K[f_{1},\ldots ,f_{m}]\,$

durch Induktion über den Grad. Wir betrachten also ein homogenes Element ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ von positivem Grad. Wegen ${}f\in I_{G}$ kann man

${}f=\sum _{j=1}^{m}h_{j}f_{j}\,$

mit homogenen Elementen ${}h_{j}$ von einem Grad ${}<\operatorname {grad} \,(f)$ schreiben. Der Reynolds-Operator

$\rho \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G},$

angewendet auf diese Gleichung, liefert

${}f=\rho (f)=\rho {\left(\sum _{j=1}^{m}h_{j}f_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{m}\rho {\left(h_{j}\right)}f_{j}\,.$

Dabei ist der Grad der ${}\rho (h_{j})$ gleich dem Grad der ${}h_{j}$ und somit kleiner als der Grad von ${}f$ und sie gehören zum Invariantenring, so dass die ${}\rho (h_{j})$ nach Induktionsvoraussetzung in der von den ${}f_{j}$ erzeugten Algebra liegen.

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Korollar

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf dem positiv graduierten Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ als Gruppe von homogenen ${}K$- Algebraautomorphismen operiere. Es sei vorausgesetzt, dass der Invariantenring ein homogener direkter Summand des Polynomringes ist.

Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte ${}K$- Algebra.

Beweis

Es sei ${}I_{G}$ das von allen Invarianten positiven Grades erzeugte Ideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Aufgrund des Hilbertschen Basissatzes besitzt ${}I_{G}$ ein endliches Idealerzeugendensystem. Daher folgt die Aussage aus Fakt *****.

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Wir kommen zum Beweis der Hinrichtung im Satz von Chevalley-Shephard-Todd, d.h. wir zeigen, dass eine Spiegelungsgruppe einen Polynomring als Invariantenring besitzt.

Beweis

Chevalley-Shephard-Todd/Spiegelungsgruppe/Polynomring/Fakt Beweis

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Wir wenden uns nun der Rückrichtung im Satz von Chevalley-Shephard-Todd zu. Zuerst erinnern wir an die Laurent-Entwicklung. Eine rationale Funktion besitzt eine Laurent-Entwicklung

${}Q(z)={\frac {F(z)}{G(z)}}=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}z^{i}\,,$

wobei ${}k$ eine eventuell negative Zahl ist. Ist ${}a_{k}\neq 0$ und ${}k$ minimal und negativ, so heißt ${}-k$ die Polstellenordnung (${\frac {1}{z^{k}}}$ hat einen Pol der Ordnung ${}k$).

Lemma

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Es sei ${}G\subset \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Untergruppe und sei ${}r$ die Anzahl der Pseudoreflektionen in ${}G$.

Dann ist die Laurent-Entwicklung der Hilbert-Reihe des Invariantenringes um ${}z=1$ gleich

${}\Phi _{G}(z)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}(1-z)^{-n}+{\frac {r}{2{\#\left(G\right)}}}(1-z)^{-n+1}+\ldots \,.$

Beweis

Nach der Molien-Formel ist

${}\Phi _{G}(z)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}\,.$

Die Summanden haben die Gestalt

${}{\frac {1}{\#\left(G\right)}}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}={\frac {1}{\#\left(G\right)}}{\frac {1}{(1-z\xi _{\sigma ,1})}}\cdots {\frac {1}{(1-z\xi _{\sigma ,n})}}\,,$

wobei die ${}\xi _{\sigma ,j}$ die Eigenwerte (mit Wiederholungen) von ${}\sigma$ seien. Für ${}\sigma =\operatorname {Id}$ hat der entsprechende Summand in ${}z=1$ einen Pol der Ordnung ${}n$. Für ${}\sigma \neq \operatorname {Id}$ haben die Summanden an ${}z=1$ einen Pol von maximaler Ordnung ${}n-1$. Diese Maximalität tritt genau dann ein, wenn der Eigenwert ${}1$ die Vielfachheit ${}n-1$ besitzt, wenn also ${}\sigma$ eine Pseudoreflektion ist. In diesem Fall ist

${}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}={\frac {1}{(1-z)^{n-1}}}\cdot {\frac {1}{\left(1-z\det \sigma \right)}}\,,$

da bei einer Pseudoreflektion der andere Eigenwert gleich der Determinante ist. Daher ist der Koeffizient zu ${}(1-z)^{-n+1}$ in der Laurent-Entwicklung gleich

${\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}{\frac {1}{1-\det \sigma }}$

(im hinteren Faktor wird $z=1$ gesetzt). Das Inverse einer Pseudoreflektion ist ebenfalls eine Pseudoreflektion, daher ist

${}{\begin{aligned}2\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}{\frac {1}{1-\det \sigma }}&=\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}{\left({\frac {1}{1-\det \sigma }}+{\frac {1}{1-{\left(\det \sigma \right)}^{-1}}}\right)}\\&=\sum _{\sigma {\text{ Pseudoreflektion}}}1\\&=r.\end{aligned}}$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Es sei ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine endliche Gruppe derart, dass der zugehörige Invariantenring von ${}n$ algebraisch unabhängigen homogenen Invarianten ${}\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}$ erzeugt werde. Es sei ${}d_{i}=\operatorname {grad} \,(\theta _{i})$ und ${}r$ die Anzahl der Pseudoreflektionen in ${}G$.

Dann ist

$\vert {G}\vert =d_{1}\cdots d_{n}{\text{ und }}r=d_{1}+\cdots +d_{n}-n.$

Beweis

Nach Fakt ***** ist

${}\Phi _{G}(z)={\frac {1}{(1-z^{d_{1}})}}\cdots {\frac {1}{(1-z^{d_{n}})}}\,.$

Wegen ${}1-z^{d}=(1-z){\left(1+z+\cdots +z^{d-1}\right)}$ ist dies gleich

${\frac {1}{(1-z)^{n}}}\cdot {\frac {1}{1+z+\cdots +z^{d_{1}-1}}}\cdots {\frac {1}{1+z+\ldots +z^{d_{n}-1}}}.$

Der Bruch ${}{\frac {1}{1+z+\ldots +z^{d-1}}}$ hat um ${}z=1$ die Potenzreihenentwicklung

${\frac {1}{d}}-{\frac {d-1}{2d}}(z-1)+\ldots ,$

was sich durch Einsetzen und Ableiten ergibt. Die Laurent-Entwicklung um ${}z=1$ ergibt sich durch Einsetzen zu

$\Phi _{G}(z)={\frac {1}{d_{1}\cdots d_{n}}}(1-z)^{-n}+{\frac {d_{1}+\cdots +d_{n}-n}{2d_{1}\cdots d_{n}}}(1-z)^{-n+1}+\ldots \,.$

Der Vergleich mit Fakt ***** ergibt die Behauptung.

$\Box$

Wir beweisen nun die Rückrichtung des Satzes von Chevalley-Sheppard-Todd.

Beweis

Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Fakt Beweis

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