Körpererweiterung/Fixkörper und Galoisgruppen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}L$ ein Körper und ${}H\subseteq \operatorname {Aut} _{}^{}{\left(L\right)}$ eine Untergruppe der Automorphismengruppe von ${}L$. Dann heißt

${}\operatorname {Fix} \,(H)={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x{\text{ für alle }}\varphi \in H\right\}}\,$

der Fixkörper zu ${}H$.

Es ist unmittelbar klar, dass es sich dabei um einen Unterkörper von ${}L$ handelt. Dies gilt auch dann, wenn ${}H$ eine beliebige Menge von Ringendomorphismen ist, die nicht notwendigerweise bijektiv sein müssen.

Bemerkung  

Zur trivialen Untergruppe ${}\{\operatorname {Id} \}\subseteq \operatorname {Aut} _{}^{}{\left(L\right)}$ gehört der Fixkörper ${}L$, und für jede andere Untergruppe ist der Fixkörper ein echter Unterkörper. Den Fixkörper zur gesamten Automorphismengruppe kann man dagegen nicht einfach charakterisieren (es ist nicht immer der Primkörper).

Lemma

Es sei ${}L$ ein Körper und ${}G=\operatorname {Aut} _{}^{}{\left(L\right)}$ die Automorphismengruppe von ${}L$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Für Untergruppen ${}H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq G$ ist ${}\operatorname {Fix} \,(H_{1})\supseteq \operatorname {Fix} \,(H_{2})$.
2. Für Unterkörper ${}M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq L$ ist ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M_{1})\supseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}M_{2})$.
3. Für eine Untergruppe ${}H\subseteq G$ ist ${}H\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}\operatorname {Fix} \,(H))$.
4. Für einen Unterkörper ${}M\subseteq L$ ist ${}M\subseteq \operatorname {Fix} \,(\operatorname {Gal} \,(L{|}M))$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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