Körpererweiterung/Norm und Spur/Einbettung/Zahlentheoretisch orientiert/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$. Dann gibt es genau ${}n$ Einbettungen von ${}L$ in die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$.

Beweis

Nach dem Satz vom primitiven Element wird ${}L$ durch ein Element erzeugt, es ist also

${}L=\mathbb {Q} (x)\cong \mathbb {Q} [X]/(F)\,$

mit einem irreduziblen Polynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ vom Grad ${}n$. Da ${}F$ irreduzibel ist und da die Ableitung ${}F'\neq 0$ ist und kleineren Grad besitzt, folgt, dass ${}F$ und ${}F'$ teilerfremd sind. Nach Fakt ergibt sich, dass ${}F$ und ${}F'$ das Einheitsideal erzeugen, also ${}AF+BF'=1$ ist. Wir betrachten diese Polynome nun als Polynome in ${}{\mathbb {C} }[X]$, wobei die polynomialen Identitäten erhalten bleiben. Über den komplexen Zahlen zerfallen ${}F$ und ${}F'$ in Linearfaktoren, und wegen der Teilerfremdheit bzw. der daraus resultierenden Identität haben ${}F$ und ${}F'$ keine gemeinsame Nullstelle. Daraus folgt wiederum, dass ${}F$ keine mehrfache Nullstelle besitzt, sondern genau ${}n$ verschiedene komplexe Zahlen ${}z_{1},\ldots ,z_{n}$ als Nullstellen besitzt. Jedes ${}z_{i}$ definiert nun einen Ringhomomorphismus

$\rho _{i}\colon L\cong \mathbb {Q} [X]/(F)\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto z_{i}.$

Da ${}L$ ein Körper ist, ist diese Abbildung injektiv. Da dabei ${}X$ auf verschiedene Elemente abgebildet wird, liegen ${}n$ verschiedene Abbildungen vor. Es kann auch keine weiteren Ringhomomorphismen ${}L\rightarrow {\mathbb {C} }$ geben, da jeder solche durch ${}X\mapsto z$ gegeben ist und ${}F(z)=0$ sein muss.

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Man beachte im vorstehenden Satz, dass das Bild von verschiedenen Einbettungen

$\rho _{i}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$

der gleiche Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$ sein kann. Dies gilt bereits für quadratische Erweiterungen wie ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$. Man hat die beiden Einbettung ${}\rho _{1},\rho _{2}\colon \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\rightarrow {\mathbb {C} }$, wobei die eine Abbildung ${}{\mathrm {i} }$ auf ${}{\mathrm {i} }$ und die andere ${}{\mathrm {i} }$ auf ${}-{\mathrm {i} }$ schickt. Das Bild ist aber in beiden Fällen gleich.

Wenn das Bild einer Einbettung ganz in den reellen Zahlen liegt, so spricht man auch von einer reellen Einbettung. Zu einem Element ${}z\in L$ nennt man die verschiedenen komplexen Zahlen

$z_{1}=\rho _{1}(z),\ldots ,z_{n}=\rho _{n}(z)$

zueinander konjugiert. Diese sind allesamt Nullstellen eines irreduziblen Polynoms ${}F$ mit rationalen Koeffizienten vom Grad ${}n$.

Lemma

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}z\in L$ ein Element. Es seien

$\rho _{1},\ldots ,\rho _{n}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$

die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei ${}M=\{y_{1},\ldots ,y_{k}\}$ die Menge der verschiedenen Werte ${}\rho _{i}(z)$. Dann gilt in ${}{\mathbb {C} }[X]$ für das Minimalpolynom ${}G$ von ${}z$ die Gleichung

${}G=(X-y_{1})(X-y_{2})\cdots (X-y_{k})\,.$

Beweis

Es sei ${}K\subseteq L$ der von ${}z$ erzeugte Unterkörper von ${}L$. Es ist dann

${}K\cong \mathbb {Q} [X]/(G)\,$

mit dem (normierten) Minimalpolynom ${}G$ von ${}z$ und ${}K$ (bzw. ${}G$) haben den Grad ${}m$ über ${}\mathbb {Q}$. Gemäß Fakt gibt es ${}m$ Einbettungen ${}\sigma \colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$, die den komplexen Nullstellen ${}M'$ von ${}G$ entsprechen, und daher ist

${}G=\prod _{\sigma }(X-\sigma (z))\,.$

Die ${}n$ Einbettungen ${}\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ induzieren jeweils eine Einbettung ${}\sigma _{i}=\rho _{i}{|}_{K}\colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$ und somit ist ${}\rho _{i}(z)=\sigma _{i}(z)$, also ${}M\subseteq M'$. Andererseits lässt sich eine Einbettung ${}\sigma \colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$ zu einer Einbettung ${}L\rightarrow {\mathbb {C} }$ fortsetzen, da ${}L$ über ${}K$ separabel ist und nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt wird und das zugehörige Minimalpolynom über ${}{\mathbb {C} }$ zerfällt. Daher ist auch ${}M'\subseteq M$.

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Wir erwähnen ohne Beweis die folgende Beschreibung von Norm und Spur, die wir aber in der Vorlesung nicht intensiv verwenden werden.

Lemma

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ die ${}n$ verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei ${}z\in L$ und ${}z_{i}=\rho _{i}(z)$, ${}i=1,\ldots ,n$. Dann ist

$N(z)=z_{1}\cdots z_{n}{\text{ und }}\operatorname {Spur} {\left(z\right)}=z_{1}+\cdots +z_{n}.$

Beweis

Wir verzichten auf einen Beweis.

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