Wir betrachten den
(surjektiven)
Einsetzungshomomorphismus
-
der
auf die Restklasse zu
abbildet. Dabei wird
auf
und die
,
,
werden auf
abgebildet. Nach
dem Satz über den induzierten Ringhomorphismus
gibt es dann einen surjektiven Ringhomomorphismus
-
Diesen müssen wir als injektiv nachweisen. Es sei dazu
-
![{\displaystyle {}P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}\in R[X]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925512460df2c39151e22dc7f8af24259adf2cc4)
das unter
auf
abgebildet wird, d.h. es ist
in
, und das bedeutet
-
![{\displaystyle {}a_{0}+a_{1}r+\cdots +a_{n}r^{n}\in (G_{1},\ldots ,G_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ba27de68b522dfbeb773d53ce4a2cc43e04d1c)
in
. Wir betrachten
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}P-P(r)&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}-\sum _{i=0}^{n}a_{i}r^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}(X^{i}-r^{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(X^{i}-r^{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}(X-r)H_{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89aa578055496e8ba79bc6c8f57f3f04be0f55f2)
wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass man in
stets
ausklammern kann. Somit ist
-
![{\displaystyle {}P-P(r)\in (X-r)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81454ac53f8b80778674d517504276cebc151ba)
und insgesamt
-
![{\displaystyle {}P\in (X-r,G_{1},\ldots ,G_{n})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0f71c025ab88e6d5c88aacbc9a64f1cb67b8202)
Wegen den entsprechenden Gleichungen
-
![{\displaystyle {}F_{i}-G_{i}=F_{i}-F_{i}(r)=(X-r)B_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5989d95ee7566b46e596a16a9d30f2919b56b4)
mit gewissen
und somit ist
-
![{\displaystyle {}P\in (X-r,G_{1},\ldots ,G_{n})=(X-r,F_{1},\ldots ,F_{n})={\mathfrak {a}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ffda2d12210858c7b7ea3171e598cc39e59f77)